MODERNE AXIOMATICA

De staatsgreep vond plaats in de tweede helft van de 19e eeuw. En hoewel het niet gepaard ging met het aannemen van officiële verklaringen, ging het in werkelijkheid juist om het afkondigen van een soort “onafhankelijkheidsverklaring”. Meer specifiek over de feitelijke afkondiging van de onafhankelijkheid van de wiskunde van de buitenwereld.

Vanuit dit oogpunt zijn wiskundige ‘objecten’, als het al zin heeft om over hun ‘bestaan’ te praten, pure producten van de rede, en hebben ze ‘overeenkomsten’ en erkennen ze enige ‘interpretatie’ in de fysieke wereld, want wiskunde is niet relevant (hoewel deze vraag zelf interessant is).

“Ware” uitspraken over dergelijke “objecten” zijn allemaal dezelfde logische consequenties van de axioma’s. Maar nu moeten de axioma’s als volkomen willekeurig worden beschouwd, en daarom is er geen behoefte aan hun “bewijs” of afleiding uit de dagelijkse ervaring door middel van “idealisatie”. In de praktijk wordt volledige vrijheid beperkt door verschillende overwegingen. Natuurlijk blijven de ‘klassieke’ objecten en hun axioma’s ongewijzigd, maar nu kunnen ze niet als de enige objecten en axioma’s van de wiskunde worden beschouwd, en de gewoonte om axioma’s weg te gooien of te herwerken is in de dagelijkse praktijk gekomen, zodat ze op verschillende manieren kunnen worden gebruikt, zoals bij de overgang. van Euclidische meetkunde tot niet-Euclidische. (Op deze manier werden talrijke varianten van “niet-Euclidische” geometrieën verkregen, verschillend van de Euclidische meetkunde en van de Lobatsjevski-Boyai-meetkunde; er zijn bijvoorbeeld niet-Euclidische geometrieën waarin er geen parallelle lijnen zijn.)

Ik zou in het bijzonder één omstandigheid willen benadrukken die volgt uit de nieuwe benadering van wiskundige “objecten”: alle bewijzen moeten uitsluitend op axioma’s zijn gebaseerd. Als we nadenken over de definitie van wiskundig bewijs, dan lijkt zo’n bewering misschien een herhaling. Deze regel is echter zelden in acht genomen in de klassieke wiskunde vanwege de “intuïtieve” aard van de objecten of axioma’s. Zelfs in de principes van Euclides, met al hun schijnbare “strengheid”, zijn veel axioma’s niet expliciet geformuleerd en worden veel eigenschappen ofwel stilzwijgend aangenomen of geïntroduceerd zonder voldoende rechtvaardiging. Om de Euclidische meetkunde op een solide basis te plaatsen, was een kritische herziening van het allereerste begin vereist. Het is nauwelijks de moeite waard om te zeggen dat pedante controle over de kleinste details van het bewijs een gevolg is van de opkomst van ‘monsters’ die moderne wiskundigen leerden voorzichtig te zijn in hun conclusies. De meest onschadelijke en ‘vanzelfsprekende’ uitspraak over klassieke objecten, bijvoorbeeld de bewering dat een curve die punten aan weerszijden van een rechte lijn verbindt, deze rechte lijn zeker snijdt, vereist in de moderne wiskunde een rigoureus formeel bewijs.

Het lijkt misschien paradoxaal om te zeggen dat de moderne wiskunde juist omdat ze zich aan de axioma’s houdt, als een duidelijk voorbeeld dient van wat elke wetenschap zou moeten zijn. Niettemin illustreert deze benadering een karakteristiek kenmerk van een van de meest fundamentele processen van wetenschappelijk denken: het verkrijgen van nauwkeurige informatie in een situatie van onvolledige kennis. Wetenschappelijk onderzoek van een bepaalde klasse objecten gaat ervan uit dat de kenmerken die het mogelijk maken om sommige objecten van andere te onderscheiden opzettelijk zijn vergeten, en dat alleen de algemene kenmerken van de objecten in kwestie behouden blijven. Wat wiskunde onderscheidt van het algemene bereik van wetenschappen, is de strikte naleving van dit programma in al zijn punten. Aangenomen wordt dat wiskundige objecten volledig worden gedefinieerd door de axioma’s die in de theorie van deze objecten worden gebruikt; of, volgens Poincaré, axioma’s dienen als “verkapte definities” van de objecten waarnaar ze verwijzen.